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人教版初二下学期数学重点

[日期:2019-10-09]

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  第十六章 二次根式 a (a≥0)叫做二次根式。 1.二次根式:式子 2.二次根式的双重非负性: a :? a ? 0 ,? a ? 0 附:具有非负性的式子:? a ? 0 ;? a ? 0 ;? a2 ? 0 3.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶ 分母中不含根式。 4.二次根式的性质: (1) ( a )2= a ( a ≥0) ; 5.二次根式的运算: (2 ) a2 ? a ? a ( a >0) 0 ( a =0) ; ? a ( a <0) (1)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次 根式. (2)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除) ,将被开方数相乘(除) ,所 得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab = a · b (a≥0,b≥0) ; b b (b≥0,a0) . ? a a (3)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法 的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 第十七章 勾股定理 1. 勾股定理:如果直角三角形的两直角边长分别为 a ,b,斜边长为 c,那么 2 2 2 a ?b ? c 。 应用: 1 (1)已知直角三角形的两边求第三边(在 ?ABC 中, ?C ? 90? ,则 c ? b ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 , ,a? c 2 ? b2 ) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边。 2.勾股定理逆定理:如果三角形三边长 a ,b,c 满足 a2 ? b2 ? c2 ,那么这个三角形 是直角三角形。 应用: 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要 方法。 (定理中 a ,b ,c 及 a 2 ? b2 ? c2 只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三 角形三边长 a , b , c 满足 a 2 ? c2 ? b2 ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角 形,但是 b 为斜边) 3、勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数, 即 a 2 ? b2 ? c2 中,a , b , c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如 3,4,5; 7,24,25 等 6,8,10;5,12,13; 4.直角三角形的性质 (1)直角三角形的两个锐角互余。可表示如下:∠C=90° ? ∠A+∠B=90° (2)在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1 ? BC= AB 2 ∠C=90° (3) 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 1 ? CD= AB=BD=AD 2 D 为 AB 的中点 2 第十八章 平行四边形 一.平行四边形 1、定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. D O C 2.平行四边形的性质 A B 角:平行四边形的邻角互补,对角相等; 边:平行四边形两组对边分别平行且相等; 对角线:平行四边形的对角线互相平分; 面积:S=底 ? 高=ah; 3.平行四边形的判定方法: ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ?一组平行且相等的四边形是平行四边形; ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形; 二、特殊的平行四边形 (一)矩形 1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、矩形的性质 ①边:对边平行且相等;②角:对角相等、邻角互补;③对角线:对角线 D C 互相平分且相等; O 3、矩形的判定: A B 3 (1 )平行四边形 ? 一个直角 ? ? . (2)三个角都是直角 ? ?四边形 ABCD 是矩形 D (3)对角线相等的平行四 边形? ? C (二)菱形 A B 1、定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2、菱形的性质: ①边:四条边都相等;②角:对角相等、邻角互补; ③对角线:对角线互相垂 D 直平分且每条对角线、菱形的判定方法: ( 1)平行四边形 ? 一组邻边等 A O C ? ? (2)四个边都相等 ? ?四边形四边形 ABCD 是菱形. (3)对角线互相垂直的平 行四边形? ? B (三)正方形 1、定义:有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形 2、正方形的性质: ①边:四条边都相等;②角:四角都是直角; ③对角线:对角线互相垂直平分 且相等,每条对角线、正方形的判定方法: ( 1 )平行四边形 ? 一组邻边等 ? 一个直角? ? (2)菱形 ? 一个直角 ? ?四边形 ? (3)矩形 ? 一组邻边等 ? D C ABCD 是正方形. A B (四)三角形中位线定理: D A E C 三角形的中位线平行第三边,并且等于它的一半. B 如图:∵DE 是△ABC 的中位线 ∴DE∥BC,DE= BC 1 2 4 (五)几种特殊四边形的面积问题 ① 设矩形 ABCD 的两邻边长分别为 a ,b,则 S 矩形 =ab. ② 设菱形 ABCD 的一边长为 a,高为 h,则 S 菱形=ah;若菱形的两对角线的长 分别为 b , c ,则 S 菱形 = bc ③ 设正方形 ABCD 的一边长为 a ,则 S正方形 ? a2 ;若正方形的对角线b 第十九章 一次函数 一.常量、变量: 在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ;数值始终不变的量叫 做 常量 。 二、函数的概念: 函数的定义:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y,并且 对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是 自变量,y 是 x 的函数. 函数的判断:对每一个自变量 x 是否只有唯一的一个函数值和它对应。 三、函数中自变量取值范围的求法: (1)用整式表示的函数,自变量的取值范围是全体实数。 (2)用分式表示的函数,自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。 (3)用二次根式表示的函数,自变量的取值范围是使被开方数为非负数 (4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再 求其公共范围,即为自变量的取值范围。 (5)对于与实际问题有关系的,自变量的取值范围应使实际问题有意义。 5 四、 函数图象的定义:一般的,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对 应值分别作为点的横、纵坐标,那么在坐标平面内由这些点组成的图形,就是 这个函数的图象. 五、用描点法画函数的图象的一般步骤(一般取五个点) 1、列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。 ) 注意:列表时自变量由小到大,相差一样,有时需对称。 2、描点: (在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐 标,描出表格中数值对应的各点。 3、连线: (按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起 来) 。 六、函数有三种表示形式: (1)列表法 七、正比例函数 1、定义:一般地,形如 y=kx(k 为常数,且 k≠0)的函数叫做正比例函数.其中 k 叫做比例系数。 特征: (1)k 为常数,且 k≠0 (2)自变量的次数是 1 (3)自变量的取值范围为全体实数。 2、图象: (1)正比例函数 y= kx (k 是常数,k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线, 我们称它为直线 y= kx 。必过点: (0,0) 、 (1,k) (2)性质:当 k0 时,直线 y= kx 经过第三,一象限,从左向右上升,即随着 x 的增大 y 也增大;当 k0 时,直线 y= kx 经过二,四象限,从左向右下降,即 6 (2)图像法 (3)解析式法 随着 x 的增大 y 反而减小。 八、一次函数 1、定义:一般地,形如 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0)的函数叫做一次函数. 当 b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数,是一次函数的特例. 特征: (1) k 不为零 (2)x 指数为 1 (3) 自变量的取值范围为全体实数 (4)b 取任意实数 2、图象: (1)一次函数 y=kx+b 的图象是经过(0,b)和(- ,0)两点的一条直线, 我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移b个单位长度得到.(当 b0 时,向上平移;当 b0 时,向下平移) (2)图像的平移: 当 b0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位; 当 b0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位. (3)必过点: (0,b)和(- ,0) (4)一次函数 y=kx+b 的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点 确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线 限 限 限 b0 b=0 b k b k 经过第一、二、三象 经过第一、三、四象 经过第一、三象 7 图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象 经过第二、三、四象 经过第二、四象 限 k0 限 限 图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小 九、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得 到以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 十、当直线 十一、一次函数与方程、不等式 1. 一次函数与一元一次方程:从“数”的角度看 x 为何值时函数 y= ax+b 的值 为 0. 2. 求 ax+b=0(a, b 是常数,a≠0)的解,从“形”的角度看,求直线 y= ax+b 与 x 轴交点的横坐标 3. 一次函数与一元一次不等式: 解不等式 ax+b>0(a,b 是常数,a≠0) .从“数”的角度看,x 为何值时函数 8 y= ax+b 的值大于 0. 4. 解不等式 ax+b>0(a, b 是常数, a≠0) . 从 “形” 的角度看, 求直线 y= ax+b 在 x 轴上方的部分(射线)所对应的的横坐标的取值范围. 5.一次函数与二元一次方程组: 解方程组 ? ? ?a1 x ? b1 y ? c1 ? ?a2 x ? b2 y ? c2 从“数”的角度看,自变量(x)为何值时两个函数值相等.并求出这个函数值 ? ?a1 x ? b1 y ? c1 ? ? ?a2 x ? b2 y ? c2 解方程组 从“形”的角度看,确定两直线交点的坐标. 第二十章 数据的分析 1.平均数: (1)算术平均数:一组数据中,有 n 个数据x1,2?n,则它们的算术平均数为 x? x1 ? x2 ? ? ? xn . n (2)加权平均数: 若在一组数字中, x1 的权为 w1 , x2 的权为 w2 ,?, xn 的权为 wn ,那么 x? 1 1 2 2 n n 1 2 n x w ? x w ?? ? x w 叫做 x1 , x2 ,? xn 的加权平均数。 w ? w ?? ? w 其中, w 、 w 、?、 w 分别是 x , x ,? x 的权. 1 2 n 1 2 n 权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。 权的表示方法:比、百分比、频数(人数、个数、次数等) 。 2.中位数:将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的 个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是 偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。 3.众数:一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 4.平均数中位数众数的区别与联系 相同点:平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在:都是来 9 描述数据集中趋势的统计量;都可用来反映数据的一般水平;都可用来作为一 组数据的代表。 不同点: 1) 、代表不同 平均数:反映了一组数据的平均大小,常用来一代表数据的总体 “平均水平” 。 中位数:像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分,因此用来代表一组 数据的“中等水平” 。 众数:反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平” 。这三个 统计量虽反映有所不同,但都可表示数据的集中趋势,都可作为数据一般水平 的代表。 2) 、特点不同 平均数:与每一个数据都有关 ,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变 动。主要缺点是易受极端值的影响,这里的极端值是指偏大或偏小数。 中位数:与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它没有影响;它是一组数 据中间位置上的代表值,不受数据极端值的影响。 众数:与数据出现的次数有关,着眼于对各数据出现的频率的考察,其大小只 与这组数据中的部分数据有关,不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性,一 组数据中可能会有一个众数,也可能会有多个或没有 。 3) 、作用不同 平均数:是统计中最常用的数据代表值,比较可靠和稳定,因为它与每一个数 据都有关,反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平 均情况,也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此,它在生活中应用 最广泛,比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。 中位数:作为一组数据的代表,可靠性比较差,因为它只利用了部分数据。但 当一组数据的个别数据偏大或偏小时,用中位数来描述该组数据的集中趋势就 比较合适。 众数:作为一组数据的代表,可靠性也比较差,因为它也只利用了部分数据。 。 在一组数据中,如果个别数据有很大的变动,且某个数据出现的次数最多,此 时用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。 5.极差:一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反 映的是数据的变化范围。 6.方差:设有 n 个数据 x1,x2, ?,xn ,各数据与它们的平均数的差的平方分别是 我们用它们的平均数,即用 ( x1 ? x ) 2, ( x2 ? x ) 2 ,?, ( xn ? x ) 2, ?, S2 ? 1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? ? ? ( xn ? x ) 2 ] n 来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差。 方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小,就越稳定。 标准差:方差的算术平方根,即 10 S? 1 ?x1 ? x ?2 ? ?x2 ? x ?2 ? ? ? ?xn ? x ?2 n ? ? 11

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